Programma :

CINEMATICA DELLE STRUTTURE RIGIDE: ANALISI MATRICIALE
Spostamento di corpo rigido (versione vettoriale e matriciale).

Equazione di vincolo (formulazione matriciale): traslazione e rotazione assoluta, relativa. Costruzione delle righe della matrice di congruenza C. (sparsa, rettangolare). Cenno al caso di vincoli non-locali.

I. Problema Omogeneo
Rango di C:Vincoli Efficaci e Ridondanti.

Caratterizzazione della struttura isogeometrica.

I.a Caratterizzazione della struttura supervincolata.

I.b Decomposizione CE CR. Rango pieno di CE. Dipendenza di CR da CE: DC = 0

I.c Soluzione nel caso di un cinematismo.

Riduzione del sistema; partizione delle incognite: indipendenti e dipendenti.

Riconoscimento della matrice dei meccanismi linearmente indipendenti: CM = 0.

II. Problema Non-Omogeneo

II.a Problema di compatibilità dei dati: condizioni sui cedimenti dei vincoli ridondanti.

II.b Riduzione del sistema alla sola parte governata da CE (teorema di esistenza N&S).

II.c Soluzione in forma esplicita.

STATICA DELLE STRUTTURE RIGIDE: ANALISI MATRICIALE
Vincoli e reazioni vincolari: parametri vincolari (forze e coppie pure). Equazioni di equilibrio e azioni assegnate. Costruzione del matrice dei coefficienti del sistema algebrico di equilibrio A. Verifica diretta di A º CT.

Sistema algebrico governante l’equilibrio: Ah + ^f = 0.

Problema Omogeneo. Ah = 0.
a) rank A =: NVE º NV. Struttura Staticamente Determinata: isogeometrica o cinematismo.

b) rank A =: NVE < NV. Struttura Staticamente Indeterminata: cinematismo o fissa. Riconoscimento delle reazioni staticamente indeterminate.

Problema Non-Omogeneo Ah + ^f = 0.
a) $B: BA = 0.

b) Compatibilità dei dati B^f = 0.

c) Condizione N&S per l'esistenza della soluzione.

d) Riconoscimento del TLV nella condizione di consistenza dei dati (BT º M).

e) soluzione generale.

Teorema dei Lavori Virtuali
Spostamenti virtuali (gradi di libertà e cedienti vincolari). Equazioni di equilibrio e grandezze duali. Derivazione della relazione AT = C partendo dal TLV. Sistema di Riferimento globale: parametri cinematici e forze.

Trave in 3D
Sistema di Riferimento locale. Lettura e discussione della matrice di rigidezza k (inclusi effetti del taglio). Partizione Start-End, disaccoppiamenti. Simmetria: dimostrazione con il teorema di Betti. Singolarità di k: moti rigidi di traslazione e rotazione; implicazioni sulla dipendenza delle righe e colonne.

Rilasci per le azioni lungo le direzioni degli assi locali: modifica della matrice di rigidezza.

Azioni di incastro perfetto per carichi e distorsioni ripartite o concentrati. Uso del PLV. Uso del teorema di Betti: funzioni di influenza (delle azione di incastro perfetto) per carico (forza/momento/distorsione) “viaggiante”.

INTRODUZIONE AI LINGUAGGI STRUTTURATI
C, Pascal.

Insieme (set) dei vincoli e dei gradi di libertà; possibile oggetto Corpo. Dati e procedure incapsulate. Dichiarazione di tipo, di variabili, costanti. Puntatori. Scope di una variabile (località). Definizione: indirizzo fisico, de-refernziazione. Impiego operativo: array in C-language, allocazione memoria, passaggio nomi di funzioni. Tipi strutturati (C e Pascal). Procedure: passaggio parametri per valore o per riferimento, procedure annidate (ricorsive).

RISOLUZIONE SISTEMI ALGEBRICI

Algoritmo Gauss

1. Riduzione per riga; matrice triangolare superiore; riconoscimento righe linearmente indipendenti e rango.

2. Forma matriciale della riduzione di riga; implementazione (operazioni in loco, immagazzinamento coefficienti di riduzione).

3. Costruzione della matrice triangolare inferiore (a diagonale unitaria) di riduzione; prodotto tra matrici triangolari (a diagonale unitaria); inversa di una matrice triangolare. Matrici sparse e loro inverse.

4. Forma matriciale della riduzione di Gauss:

matrici parziali e forma risultante A’ = LA.

5. Ricostruzione matrice per inversione di L.

6. Partizione di L per esplicitare la dipendenza lineare delle righe di A.

7. Pivoting: per riga e totale. Matrici di permutazione. Perdita di precisione nelle sottrazioni. Criterio di scelta del pivot secondo il massimo valore assoluto di Aij.

8. Problema del test a zero (precisione di macchina e stima dell’elemento tipico di A).

Problemi
Uso della riduzione di Gauss per la risoluzione dei sistemi indeterminati, non omogenei. Cenno ai problemi numerici di soluzione: precisione di macchina; mantissa; errore relativo; perdita di precisione in una operazione di sottrazione.

Gauss con pivoting totale: schema di riduzione per elementi intorno al pivot

ANALI MATRICIALE DELLE STRUTTURE ELASTICHE

Trasformazione di Coordinate
Nuova base ortonormale. Matrice Q dei coefficienti della combinazione. Interpretazione di Q per righe e colonne: Q è ortogonale.

Trasformazione delle componenti di un vettore per rotazione del sistema di coordinate.

Cinematica di Nodo

Definizione di uel.

Relazione ue ¬ uEL (matrice Q). Problema della relazione tra gradi di libertà di struttura e di elemento.

Relazione uEL ¬ qEL (matrice C).

Esempi notevoli di costruzione di C: nodo di trave (incastro: 6 gdl); nodo di trave (pattino); nodo di impalcato rigido; nodo di vincolo di simmetria (struttura simmetrica polarmente e periodica).

Relazione qEL ¬ q (matrice P).

Statica di Nodo
Forze nodali. Definizione di hel..

Dualità forze-spostamenti: uso del TLV per ricavare la forza generalizzata associata ad una data trasformazione degli spostamenti.

Relazione hEL ¬ he (matrice QT).

Relazione fEL ¬ hEL(matrice CT).

Relazione fEL ¬ f{iEL} (matrice P).

Esempi di costruzione di f (pendolo inclinato, piano rigido) ed interpretazione fisica diretta.

Matrici di Rigidezza

Trasformazioni della matrice dal sistema locale alla struttura (contributo {EL})

kel, kEL, KEL, K{iEL}.

Matrice globale K: dimensioni delle matrici K{iEL}, indirizzamento. Cenno ai problemi di archiviazione (skyline e profilo): costruzione per elementi o per gradi di libertà (classi di elementi).

Esempi (pendolo inclinato, piano rigido): costruzione numerica ed interpretazione geometrico-meccanica (direzioni principali, accoppiamento modi, centro di rigidezza).

Forze nodali di Struttura

Equilibrio dei nodi: azioni sugli elementi ed azioni sui nodi. Esempio ad 1 grado di libertà. Sistema algebrico finale Kq = f.

Topologia della matrice di rigidezza globale
Introduzione alla teoria dei grafi: vertici e lati. Grafo, multigrafo, loop, grafo diretto, connesso, piano, completo. Percorso, ciclo, albero. Grafo associato ad una struttura: elementi mono-dimensionali e 2D. Matrice di adiacenza : definizione (cenno alle sue potenze). Matrice di incidenza. Relazione tra la matrice di adiacenza e sparsità di K.

Problema della riduzione della larghezza di banda: rinumerazione dei nodi: cenno all’algoritmo di Kuthill-McKee.

Stress recovery.

Ricostruzione delle azioni sull’elemento in termini di q.

Condizioni di Vincolo

Decomposizione del sistema nella parte vincolata e libera.

1. Caso di vincoli fissi

Eliminazione dei gdl con spostamenti nulli. Ricostruzione forze vincolari (direttamente e attraverso le azioni di elemento).

2. Caso di vincoli cedevoli

2.1 Soluzione analitica: sistema ridotto (calcolo reazioni vincolari).

2.2 Metodo penalità: vincolo ultrarigido/ forza proporzionale.

Vantaggi e svantaggi nella costruzione e nella soluzione del sistema risolvente.

Tecnica di Condensazione Statica.

Variabili statiche/cinematiche di interfaccia e interne.

Variabili Miste

Scelta di incognite parte cinematiche, parte statiche: derivazione della matrice K*,

reggente il sistema misto.

Esempi elementari (trave inflessa in 2D) utilizzando MAPLE®:

1. incastro-estremo libero (commento sulle componenti di K*).

2. incastro-pattino (commenti).

TEOREMA DI MINIMA ENERGIA POTENZIALE TOTALE
Problema elastico misto, stato cinematicamente ammissibile (condizioni al bordo).

Campo di spostamento e deformazione Cine-maticamente Ammissibile (congruente) per il problema elastico misto. Funzionale Energia Potenziale Totale (EPT).

Lemma: variazione dell'EPT per variazione (finita) del campo cinematicamente ammissibile.

Teorema 1) condizione necessaria. 2) condizione sufficiente.

(giustificazione del Lemma fondamentale del Calcolo delle Variazioni).

Metodo di Ritz:
Presentazione del metodo (approssimazione con numero finito di parametri).

Esempio: trave incastro appoggio con coppia, cedimento e carico ripartito. Polinomio di 3.

Discussione della soluzione approssimata: risposta colta in modo esatto (in dipendenza della ricchezza del campo assunto); violazioni delle condizioni di equilibrio locali e al bordo.

Esempio modello: trave incastro appoggio con carico ripartito; polinomio di 4 grado, con 1 e 2 parametri (impiego di Maple ® per il calcolo, la minimizzazione del funzionale EPT e la visualizzazione dei risultati).

Controesempio: trave incastro appoggio con forza concentrata in mezzeria e 20 funzioni di forma (con Maple ®). Discussione dell’instabilità numerica della soluzione (violazioni delle condizioni di equilibrio locali e al bordo, fino alla deirvata quarta).

Cenno al problema della minimizzazione dell'errore quadratico medio della soluzione approssimata (scarto minimizzato in energia, non nel valore puntuale assoluto).

METODO DEGLI ELEMENTI FINITI
Introduzione
1. Formulazione energetica/integrale.

2. Approssimazione con un numero finito di parametri.

3. Funzioni a supporto compatto.

4. Congruenza all’interfaccia legata alla condivisione dei parametri nodali.

Osservazioni. Errore in media/ errore locale, problema di stress recovery. Completezza del sistema di funzioni usate (moti rigidi). Regolarità delle funzioni: utilizzo di derivate regolari a tratti in un integrale.

Funzioni di Forma
Elementi “di base” a lati rettilinei e curvilinei in 2D e 3D. Variabili naturali (elementi canonici): rettangolo, triangolo (coordinate areali). Super-elementi: 2D (trapezi, poligonali), 3D brick (per assemblaggio di 5 o 6 tetraedri). Costruzione del campo di spostamento approssimato (polinomiale).

Approccio analitico: riduzione dei parametri di controllo ai valori nodali.

Funzioni di forma: proprietà interpolante. Funzioni di forma: proprietà di completezza. Osservazioni sul trattamento di eventuali parametri locali, da condensare.

Elementi Lagrangiani

Approssimazione in 1D: polinomi di Lagrange. Caso 2D (rettangolo): costruzione della funzione di forma a variabili separate.

Elementi L4, L9, L16 e Lk: termini del polinomio completo e di ordine superiore. Discussione dell’efficienza della classe lagrangiana.

Elementi Serendipity

Idea di base: nodi al bordo (possibilmente), minimo numero di termini di grado superiore. Elementi S4, S8, S12. Costruzione delle funzioni di forma (per prodotto delle funzioni che esprimono le rette di bordo). Termini del polinomio completo e superiori (triangolo di Pascal).

Elemento S17: necessità di un nodo interno.

ELEMENTI ISOPARAMETRICI
Mappatura (bicontinua) dell’elemento parent sull'elemento reale. Rispetto delle condizioni di congruenza e compatibilità inter-elemento nel dominio parent e reale. Funzioni di forma per la trasformazione geometrica: proprietà interpolanti. Calcolo delle derivate di una funzione rispetto alle variabili reali in termini di coordinate naturali (rettangolari). Matrice Jacobiana. Elemento di volume come indice di distorsione dell’elemento.

INTEGRAZIONE NUMERICA
Metodo di Newton-Cotes e metodo di Gauss-Legendre. Motivazione, precisione, confronto e vantaggi per lo stress recovery.

DEFORMAZIONI
Matrice B(x) degli operatori di derivazione (continuo classico - spostamenti [u, v, w]):

caso generale 3D in coordinate cartesiane ortogonale;

caso assial-simmetrico (definizione, calcolo delle componenti di deformazione significative in coordinate cilindriche).

LEGAME COSTITUTIVO (L. E. ISOTROPO): FORMA MATRICIALE PER
1. stato 3D generale;

2. stato piano di deformazione;

3. stato piano di tensione.

MATRICE DI RIGIDEZZA DELL'ELEMENTO
Calcolo dell'energia potenziale di deformazione: riconoscimento della matrice di rigidezza. Energia potenziale dei carichi e totale: minimizzazione e equazioni risolventi. Problema del lavoro delle tensioni interne all'interfaccia tra elementi connesso alla congruenza delle funzioni di forma.

Derivazione dell'espressione generale di kel per integrazione del potenziale elastico (uso delle funzioni di forma, operatori di derivazione e legame costitutivo).

EQUAZIONI RISOLVENTI
Potenziale dei carichi: espressione generale delle forze nodali (di elemento).

Minimizzazione del funzionale e equazioni finali.

Cenno alle tappe sviluppo storico dell'analisi matriciale e per Elementi Finiti.

CALCOLO DELLE VARIAZIONI
Funzionale, variazione dy, dy', (dy)', ecc. Estremo e condizioni di estremo: variazione prima di un funzionale dipendente da y (fino alla derivata di ordine n). Equazione di Euler. Condizioni agli estremi: cinematiche (essenziali); naturali: Discussione sul loro significato fisico/meccanico (in un problema risolto in modo approssimato). Applicazione alla derivazione del sistema differenziale della linea elastica del IV ordine (con relative condizioni agli etremi).

Cenno al metodo di Kantorovich per risolvere il problema di Shear Lag nella flessione delle travi in parete sottile.

Testi di Riferimento :

Corradi Dell’Acqua, "Meccanica delle Strutture", Vol. (1), 2, (3), McGraw-Hill, 1992-1994.
Luongo e Paolone, "Meccanica delle Strutture – Sistemi ad elasticità concentrata", CEA, 2000.
Zienkiewicz (and Taylor), "The Finite Element Method", McGraw-Hill, 1977 (1991).
Boniolo e Vidali, "Introduzione alla Filosofia della Scienza", Bruno Mondadori Editore, 2003.