Programma
:
CINEMATICA DELLE STRUTTURE RIGIDE:
ANALISI MATRICIALE
Spostamento di corpo rigido (versione vettoriale
e matriciale).
Equazione di vincolo (formulazione
matriciale): traslazione e rotazione assoluta,
relativa. Costruzione delle righe della matrice
di congruenza C. (sparsa, rettangolare). Cenno
al caso di vincoli non-locali.
I. Problema Omogeneo
Rango di C:Vincoli Efficaci e Ridondanti.
Caratterizzazione della
struttura isogeometrica.
I.a Caratterizzazione
della struttura supervincolata.
I.b Decomposizione CE
CR. Rango pieno di CE. Dipendenza di CR da CE:
DC = 0
I.c Soluzione nel caso
di un cinematismo.
Riduzione del sistema;
partizione delle incognite: indipendenti e dipendenti.
Riconoscimento della matrice
dei meccanismi linearmente indipendenti: CM =
0.
II. Problema Non-Omogeneo
II.a Problema di compatibilità
dei dati: condizioni sui cedimenti dei vincoli
ridondanti.
II.b Riduzione del sistema
alla sola parte governata da CE (teorema di esistenza
N&S).
II.c Soluzione in forma
esplicita.
STATICA DELLE STRUTTURE
RIGIDE: ANALISI MATRICIALE
Vincoli e reazioni vincolari: parametri vincolari
(forze e coppie pure). Equazioni di equilibrio
e azioni assegnate. Costruzione del matrice dei
coefficienti del sistema algebrico di equilibrio
A. Verifica diretta di A º CT.
Sistema algebrico governante
l’equilibrio: Ah + ^f = 0.
Problema Omogeneo. Ah
= 0.
a) rank A =: NVE º NV. Struttura Staticamente
Determinata: isogeometrica o cinematismo.
b) rank A =: NVE <
NV. Struttura Staticamente Indeterminata: cinematismo
o fissa. Riconoscimento delle reazioni staticamente
indeterminate.
Problema Non-Omogeneo
Ah + ^f = 0.
a) $B: BA = 0.
b) Compatibilità
dei dati B^f = 0.
c) Condizione N&S
per l'esistenza della soluzione.
d) Riconoscimento del
TLV nella condizione di consistenza dei dati (BT
º M).
e) soluzione generale.
Teorema dei Lavori Virtuali
Spostamenti virtuali (gradi di libertà
e cedienti vincolari). Equazioni di equilibrio
e grandezze duali. Derivazione della relazione
AT = C partendo dal TLV. Sistema di Riferimento
globale: parametri cinematici e forze.
Trave in 3D
Sistema di Riferimento locale. Lettura e discussione
della matrice di rigidezza k (inclusi effetti
del taglio). Partizione Start-End, disaccoppiamenti.
Simmetria: dimostrazione con il teorema di Betti.
Singolarità di k: moti rigidi di traslazione
e rotazione; implicazioni sulla dipendenza delle
righe e colonne.
Rilasci per le azioni
lungo le direzioni degli assi locali: modifica
della matrice di rigidezza.
Azioni di incastro perfetto
per carichi e distorsioni ripartite o concentrati.
Uso del PLV. Uso del teorema di Betti: funzioni
di influenza (delle azione di incastro perfetto)
per carico (forza/momento/distorsione) “viaggiante”.
INTRODUZIONE AI LINGUAGGI
STRUTTURATI
C, Pascal.
Insieme (set) dei vincoli
e dei gradi di libertà; possibile oggetto
Corpo. Dati e procedure incapsulate. Dichiarazione
di tipo, di variabili, costanti. Puntatori. Scope
di una variabile (località). Definizione:
indirizzo fisico, de-refernziazione. Impiego operativo:
array in C-language, allocazione memoria, passaggio
nomi di funzioni. Tipi strutturati (C e Pascal).
Procedure: passaggio parametri per valore o per
riferimento, procedure annidate (ricorsive).
RISOLUZIONE SISTEMI ALGEBRICI
Algoritmo Gauss
1. Riduzione per riga;
matrice triangolare superiore; riconoscimento
righe linearmente indipendenti e rango.
2. Forma matriciale della
riduzione di riga; implementazione (operazioni
in loco, immagazzinamento coefficienti di riduzione).
3. Costruzione della matrice
triangolare inferiore (a diagonale unitaria) di
riduzione; prodotto tra matrici triangolari (a
diagonale unitaria); inversa di una matrice triangolare.
Matrici sparse e loro inverse.
4. Forma matriciale della
riduzione di Gauss:
matrici parziali e forma
risultante A’ = LA.
5. Ricostruzione matrice
per inversione di L.
6. Partizione di L per
esplicitare la dipendenza lineare delle righe
di A.
7. Pivoting: per riga
e totale. Matrici di permutazione. Perdita di
precisione nelle sottrazioni. Criterio di scelta
del pivot secondo il massimo valore assoluto di
Aij.
8. Problema del test a
zero (precisione di macchina e stima dell’elemento
tipico di A).
Problemi
Uso della riduzione di Gauss per la risoluzione
dei sistemi indeterminati, non omogenei. Cenno
ai problemi numerici di soluzione: precisione
di macchina; mantissa; errore relativo; perdita
di precisione in una operazione di sottrazione.
Gauss con pivoting totale:
schema di riduzione per elementi intorno al pivot
ANALI MATRICIALE DELLE
STRUTTURE ELASTICHE
Trasformazione di Coordinate
Nuova base ortonormale. Matrice Q dei coefficienti
della combinazione. Interpretazione di Q per righe
e colonne: Q è ortogonale.
Trasformazione delle componenti
di un vettore per rotazione del sistema di coordinate.
Cinematica di Nodo
Definizione di uel.
Relazione ue ¬ uEL
(matrice Q). Problema della relazione tra gradi
di libertà di struttura e di elemento.
Relazione uEL ¬ qEL
(matrice C).
Esempi notevoli di costruzione
di C: nodo di trave (incastro: 6 gdl); nodo di
trave (pattino); nodo di impalcato rigido; nodo
di vincolo di simmetria (struttura simmetrica
polarmente e periodica).
Relazione qEL ¬ q
(matrice P).
Statica di Nodo
Forze nodali. Definizione di hel..
Dualità forze-spostamenti:
uso del TLV per ricavare la forza generalizzata
associata ad una data trasformazione degli spostamenti.
Relazione hEL ¬ he
(matrice QT).
Relazione fEL ¬ hEL(matrice
CT).
Relazione fEL ¬ f{iEL}
(matrice P).
Esempi di costruzione
di f (pendolo inclinato, piano rigido) ed interpretazione
fisica diretta.
Matrici di Rigidezza
Trasformazioni della matrice
dal sistema locale alla struttura (contributo
{EL})
kel, kEL, KEL, K{iEL}.
Matrice globale K: dimensioni
delle matrici K{iEL}, indirizzamento. Cenno ai
problemi di archiviazione (skyline e profilo):
costruzione per elementi o per gradi di libertà
(classi di elementi).
Esempi (pendolo inclinato,
piano rigido): costruzione numerica ed interpretazione
geometrico-meccanica (direzioni principali, accoppiamento
modi, centro di rigidezza).
Forze nodali di Struttura
Equilibrio dei nodi: azioni
sugli elementi ed azioni sui nodi. Esempio ad
1 grado di libertà. Sistema algebrico finale
Kq = f.
Topologia della matrice
di rigidezza globale
Introduzione alla teoria dei grafi: vertici e
lati. Grafo, multigrafo, loop, grafo diretto,
connesso, piano, completo. Percorso, ciclo, albero.
Grafo associato ad una struttura: elementi mono-dimensionali
e 2D. Matrice di adiacenza : definizione (cenno
alle sue potenze). Matrice di incidenza. Relazione
tra la matrice di adiacenza e sparsità
di K.
Problema della riduzione
della larghezza di banda: rinumerazione dei nodi:
cenno all’algoritmo di Kuthill-McKee.
Stress recovery.
Ricostruzione delle azioni
sull’elemento in termini di q.
Condizioni di Vincolo
Decomposizione del sistema
nella parte vincolata e libera.
1. Caso di vincoli fissi
Eliminazione dei gdl con
spostamenti nulli. Ricostruzione forze vincolari
(direttamente e attraverso le azioni di elemento).
2. Caso di vincoli cedevoli
2.1 Soluzione analitica:
sistema ridotto (calcolo reazioni vincolari).
2.2 Metodo penalità:
vincolo ultrarigido/ forza proporzionale.
Vantaggi e svantaggi nella
costruzione e nella soluzione del sistema risolvente.
Tecnica di Condensazione
Statica.
Variabili statiche/cinematiche
di interfaccia e interne.
Variabili Miste
Scelta di incognite parte
cinematiche, parte statiche: derivazione della
matrice K*,
reggente il sistema misto.
Esempi elementari (trave
inflessa in 2D) utilizzando MAPLE®:
1. incastro-estremo libero
(commento sulle componenti di K*).
2. incastro-pattino (commenti).
TEOREMA DI MINIMA ENERGIA
POTENZIALE TOTALE
Problema elastico misto, stato cinematicamente
ammissibile (condizioni al bordo).
Campo di spostamento e
deformazione Cine-maticamente Ammissibile (congruente)
per il problema elastico misto. Funzionale Energia
Potenziale Totale (EPT).
Lemma: variazione dell'EPT
per variazione (finita) del campo cinematicamente
ammissibile.
Teorema 1) condizione
necessaria. 2) condizione sufficiente.
(giustificazione del Lemma
fondamentale del Calcolo delle Variazioni).
Metodo di Ritz:
Presentazione del metodo (approssimazione con
numero finito di parametri).
Esempio: trave incastro
appoggio con coppia, cedimento e carico ripartito.
Polinomio di 3.
Discussione della soluzione
approssimata: risposta colta in modo esatto (in
dipendenza della ricchezza del campo assunto);
violazioni delle condizioni di equilibrio locali
e al bordo.
Esempio modello: trave
incastro appoggio con carico ripartito; polinomio
di 4 grado, con 1 e 2 parametri (impiego di Maple
® per il calcolo, la minimizzazione del funzionale
EPT e la visualizzazione dei risultati).
Controesempio: trave incastro
appoggio con forza concentrata in mezzeria e 20
funzioni di forma (con Maple ®). Discussione
dell’instabilità numerica della soluzione
(violazioni delle condizioni di equilibrio locali
e al bordo, fino alla deirvata quarta).
Cenno al problema della
minimizzazione dell'errore quadratico medio della
soluzione approssimata (scarto minimizzato in
energia, non nel valore puntuale assoluto).
METODO DEGLI ELEMENTI
FINITI
Introduzione
1. Formulazione energetica/integrale.
2. Approssimazione con
un numero finito di parametri.
3. Funzioni a supporto
compatto.
4. Congruenza all’interfaccia
legata alla condivisione dei parametri nodali.
Osservazioni. Errore in
media/ errore locale, problema di stress recovery.
Completezza del sistema di funzioni usate (moti
rigidi). Regolarità delle funzioni: utilizzo
di derivate regolari a tratti in un integrale.
Funzioni di Forma
Elementi “di base” a lati rettilinei
e curvilinei in 2D e 3D. Variabili naturali (elementi
canonici): rettangolo, triangolo (coordinate areali).
Super-elementi: 2D (trapezi, poligonali), 3D brick
(per assemblaggio di 5 o 6 tetraedri). Costruzione
del campo di spostamento approssimato (polinomiale).
Approccio analitico: riduzione
dei parametri di controllo ai valori nodali.
Funzioni di forma: proprietà
interpolante. Funzioni di forma: proprietà
di completezza. Osservazioni sul trattamento di
eventuali parametri locali, da condensare.
Elementi Lagrangiani
Approssimazione in 1D:
polinomi di Lagrange. Caso 2D (rettangolo): costruzione
della funzione di forma a variabili separate.
Elementi L4, L9, L16 e
Lk: termini del polinomio completo e di ordine
superiore. Discussione dell’efficienza della
classe lagrangiana.
Elementi Serendipity
Idea di base: nodi al
bordo (possibilmente), minimo numero di termini
di grado superiore. Elementi S4, S8, S12. Costruzione
delle funzioni di forma (per prodotto delle funzioni
che esprimono le rette di bordo). Termini del
polinomio completo e superiori (triangolo di Pascal).
Elemento S17: necessità
di un nodo interno.
ELEMENTI ISOPARAMETRICI
Mappatura (bicontinua) dell’elemento parent
sull'elemento reale. Rispetto delle condizioni
di congruenza e compatibilità inter-elemento
nel dominio parent e reale. Funzioni di forma
per la trasformazione geometrica: proprietà
interpolanti. Calcolo delle derivate di una funzione
rispetto alle variabili reali in termini di coordinate
naturali (rettangolari). Matrice Jacobiana. Elemento
di volume come indice di distorsione dell’elemento.
INTEGRAZIONE NUMERICA
Metodo di Newton-Cotes e metodo di Gauss-Legendre.
Motivazione, precisione, confronto e vantaggi
per lo stress recovery.
DEFORMAZIONI
Matrice B(x) degli operatori di derivazione (continuo
classico - spostamenti [u, v, w]):
caso generale 3D in coordinate
cartesiane ortogonale;
caso assial-simmetrico
(definizione, calcolo delle componenti di deformazione
significative in coordinate cilindriche).
LEGAME COSTITUTIVO (L.
E. ISOTROPO): FORMA MATRICIALE PER
1. stato 3D generale;
2. stato piano di deformazione;
3. stato piano di tensione.
MATRICE DI RIGIDEZZA DELL'ELEMENTO
Calcolo dell'energia potenziale di deformazione:
riconoscimento della matrice di rigidezza. Energia
potenziale dei carichi e totale: minimizzazione
e equazioni risolventi. Problema del lavoro delle
tensioni interne all'interfaccia tra elementi
connesso alla congruenza delle funzioni di forma.
Derivazione dell'espressione
generale di kel per integrazione del potenziale
elastico (uso delle funzioni di forma, operatori
di derivazione e legame costitutivo).
EQUAZIONI RISOLVENTI
Potenziale dei carichi: espressione generale delle
forze nodali (di elemento).
Minimizzazione del funzionale
e equazioni finali.
Cenno alle tappe sviluppo
storico dell'analisi matriciale e per Elementi
Finiti.
CALCOLO DELLE VARIAZIONI
Funzionale, variazione dy, dy', (dy)', ecc. Estremo
e condizioni di estremo: variazione prima di un
funzionale dipendente da y (fino alla derivata
di ordine n). Equazione di Euler. Condizioni agli
estremi: cinematiche (essenziali); naturali: Discussione
sul loro significato fisico/meccanico (in un problema
risolto in modo approssimato). Applicazione alla
derivazione del sistema differenziale della linea
elastica del IV ordine (con relative condizioni
agli etremi).
Cenno al metodo di Kantorovich
per risolvere il problema di Shear Lag nella flessione
delle travi in parete sottile.
Testi di Riferimento
:
Corradi Dell’Acqua, "Meccanica
delle Strutture", Vol. (1), 2, (3), McGraw-Hill,
1992-1994.
Luongo e Paolone, "Meccanica delle Strutture
– Sistemi ad elasticità concentrata",
CEA, 2000.
Zienkiewicz (and Taylor), "The Finite Element
Method", McGraw-Hill, 1977 (1991).
Boniolo e Vidali, "Introduzione alla Filosofia
della Scienza", Bruno Mondadori Editore,
2003.
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