Programma :

1. Funzioni di una variabile complessa.
I numeri complessi, operazioni algebriche, successioni e serie nel campo complesso, radici, esponenziale, logaritmo e funzioni goniometriche nel campo complesso. Il concetto di limite nel campo complesso, operazioni con i limiti. Funzioni continue. Continuità delle funzioni radice e argomento. Regioni fondamentali. Funzioni derivabili in senso complesso. Equazioni di Cauchy-Rieman. Equivalenza fra derivabilità in senso complesso, differenziabilitˆ in senso complesso e differenziabilità in senso reale + condizioni di C.R. Significato algebrico delle condizioni di C.R. Funzioni olomorfe. Algebra delle funzioni olomorfe. Esempi di funzioni olomorfe. Funzioni armoniche coniugate. Ortogonalitˆ delle linee di livello. Serie di potenze, raggio di convergenza e Lemma di Abel. Calcolo del raggio di convergenza. Derivabilità delle serie di potenze. Funzioni analitiche. Olomorfia delle funzioni analitiche. Funzioni generatrici, applicazioni al calcolo delle probabilità. Principio d'identità delle funzioni analitiche. Integrazione nel campo complesso, integrali lungo curve generalmente continue e relazione con gli integrali curvilinei. Formula di Gauss Green (solo enunciato). Teorema di Cauchy dell'integrale nullo. Primitiva di una funzione continua. Proprietà equivalenti all'esistenza di una primitiva. Integrali di Fresnel. Formula integrale di Cauchy e conseguenze. Analiticità delle funzioni olomorfe di calsse C^1. Formula integrale di Cauchy per le derivate e stime di Cauchy. Teorema di Morera. Teorema di Goursat. Analiticità delle funzioni olomorfe. Teoremi di Weierstrass, Liouville, fondamentale dell'algebra, del massimo modulo. Funzioni olomorfe di modulo costante. Funzioni olomorfe in un anello. Serie di Laurent, parte singolare di una funzione olomorfa in un anello. Tipi di singolarità delle funzioni olomorfe (eliminabili, poli, essenziali). Teorema di Casorati Weierstrass sulle singolarità essenziali (solo enunciato). Residui e loro calcolo in un polo. Metodi delle costanti indeterminate per la determinazione delle serie di Laurent. Prolungabilità delle funzioni olomorfe limitate. Teorema di Hermite. Teorema dei residui. Calcolo di integrali tramite i residui. Lemmi del Grande e Piccolo cerchio. Lemma di Jordan e specializzazione ad altri settori circolari. Valor principale di Cauchy. Calcolo di integrali utilizzando i residui: caso del polo semplice sull'asse reale.

2. Trasformate di Laplace e di Fourier.
Cenni sull'integrale di Lebesgue. Gli spazi L^1(E), L^2(E). I teoremi di Fubini e Tonelli. Il Teorema di Lebesgue della convergenza dominata. Funzioni trasformabili alla Laplace, ascissa di convergenza. Definizione e proprietˆ algebrico-differenziali della trasformata di Laplace. Olomorfia della trasformata di Laplace e suo comportamento asintotico. Calcolo delle trasformate di alcune funzioni elementari. Teoremi del valore iniziale e finale. Risoluzione di alcune equazioni differenziali tramite le trasformate di Laplace. Trasformata di Laplace di funzioni periodiche. Convoluzione e sua trasformata di Laplace. Calcolo di integrali usando le trasformate di Laplace. Formula di inversione delle trasformate di Laplace. Formula del contorno di Bromwich. Le funzioni G(z), B(a,b) e relazione fra di esse. Formula dei complementi. Calcolo della trasformata di Laplace tramite i residui. Trasformate di Fourier, proprietˆ algebrico differenziali delle trasformate di Fourier. Continuitˆ e comportamento asintotico di F(f)(w). Convoluzione e trasformata di Fourier. Serie di Fourier e trasformate di Fourier. Cenni sulla convergenza delle serie di Fourier, la diseguaglianza di Bessel e l'uguaglianza di Parseval. Formula di inversione delle trasformate di Fourier in condizioni di tipo Dirichlet. Relazione fra la trasformata di Fourier e di Laplace. Identità di Plancherel. Teorema del campionamento di Shannon. Funzioni di Bessel, funzione generatrice, rappresentazione in forma di serie delle funzioni di Bessel. Realtà e limitatezza di J_n(t). Equazione di Bessel. Trasformata di J_0(t). Trasformata di Laplace delle funzioni di Bessel J_n(t) (solo enunciato).

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