|
Programma :
1. Funzioni di più variabili.
Intorni in R . Insiemi aperti e chiusi, compatti
e connessi in R . Limiti e continuità.
Derivate parziali. Derivate successive. Il Teorema
di Schwartz. Gradiente. Differenziabilità.
Teorema del differenziale. Funzioni composte.
Teorema di derivazione delle funzioni composte.
Derivate direzionali. Derivata direzionale di
una funzione differenziabile. Formula di Taylor
al primo e al secondo ordine. Matrice Hessiana.
Massimi e minimi relativi. Condizione necessaria
affinchè un punto sia di massimo o di minimo
relativo. Punti critici. Condizione sufficiente
affinchè un punto sia di massimo o di minimo
relativo e particolarizzazione al caso di 2 variabili.
Massimi e minimi assoluti.
2. Funzioni implicite. Il problema delle funzioni
implicite. Il Teorema del Dini per l’equazione
F(x,y)=0. Derivazione delle funzioni implicite.
Massimi e minimi vincolati. Teorema dei moltiplicatori
di Lagrange.
3. Curve ed integrali curvilinei. Curve in R .
Sostegno di una curva. Curve semplici, curve regolari,
curve regolari a tratti. Versore tangente ad una
curva in un punto. Lunghezza di una curva. Teorema
sulla rettificabilità delle curve regolari.
Ascissa curvilinea. Curve in R : versore tangente
normale e binormale; curvatura e torsione.
4. Forme differenziali lineari. Campi vettoriali.
Lavoro. Campi conservativi. Forme differenziali
lineari. Integrale curvilineo di una forma differenziale
lineare. Forme differenziali lineari esatte. Condizione
necessaria e sufficiente affinchè una forma
differenziale lineare sia un differenziale esatto.
Condizione necessaria affinchè una forma
differenziale lineare sia un differenziale esatto.
Forme differenziali lineari chiuse. Campi irrotazionali.
Forme differenziali lineari su domini semplicemente
connessi.
5. Integrali multipli. Integrali doppi. Formule
di riduzione su domini normali. Cambiamento di
variabile negli integrali doppi. Integrali tripli:
formule di riduzione e cambiamento di variabile.
Cenno agli integrali multipli generalizzati. Domini
regolari. Bordo di un dominio regolare e suo orientamento.
Formule di Green-Gauss e applicazioni.
7. Superfici. Superfici regolari in R . Piano
tangente e versore normale. Area di una superficie.
Superfici di rotazione. Superfici orientabili.
Flusso di un campo attraverso una superficie.
Il teorema della divergenza e del rotore.
8. Equazioni differenziali ordinarie. Il problema
di Cauchy. Il Teorema di Cauchy di esistenza e
unicità locale. Risoluzione di alcuni tipi
di equazioni differenziali del primo ordine in
forma normale. Risoluzione di alcuni tipi di equazioni
differenziali del primo ordine non in forma normale.
Il problema di Cauchy per equazioni di ordine
superiore al primo. Risoluzione di alcuni tipi
di equazioni di ordine superiore al primo.
9. Equazioni differenziali lineari. Proprietà
generali. Integrale generale di un'equazione differenziale
lineare. Il metodo della variazione delle costanti.
Equazioni omogenee a coefficienti costanti. Equazioni
a coefficienti costanti con termini noti di tipo
particolare. Equazioni lineari di Eulero.
10. Serie di funzioni. Serie di potenze: raggio
di convergenza. Critero di Cauchy-Hadamard; criterio
di D’Alambert. Raggio di convergenza della
serie derivata. Serie di Taylor.
Testi di Riferimento :
Bramanti M., Pagani C.D., Salsa
S.: MATEMATICA – Calcolo infinitesimale
e algebra lineare, Ed. Zanichelli
Ricevimento Studenti :
Contattare il docente
|
