Programma
:
Elementi di teoria degli insiemi:
Simbologia e proprietà elementari. Operazioni
insiemistiche: unione, intersezione, differenza,
complementare; insieme delle parti. Prodotto cartesiano
fra due o più insiemi. Logica delle proposizioni.
Implicazione, equivalenza, negazione. I quantificatori
universali.
I numeri reali:I
numeri naturali, interi e razionali. I numeri
reali e l’assioma della completezza. Intervalli.
Insieme limitato inferiormente e superiormente.
Insieme limitato. Insieme illimitato. Estremo
inferiore e superiore di un insieme. Esistenza
e unicità dell’estremo inferiore
(superiore) di un insieme.
I numeri complessi:
Definizione. Operazioni di somma e prodotto. Forma
binomiale. Forma trigonometrica. Potenza e radice
di un numero complesso.
Successioni in
R : Definizione di successione. Successione
convergente e limite di successioni. Unicità
del limite. Successioni divergenti e successioni
indeterminate. Successioni regolari. Successioni
limitate. Operazioni con i limiti. Forme indeterminate
nel calcolo dei limiti. Proprietà di confronto
nell’operazione di limite. Successioni monotone.
Teorema di regolarità delle successioni
monotone. Il numero e. Calcolo di limiti. Successioni
infinite e infinitesime. Stime asintotiche per
il calcolo di limiti. Criterio del rapporto per
le successioni.
Serie: Serie
numerica. Serie di Mengoli e serie geometrica.
Condizione necessaria per la convergenza di una
serie. Serie armonica. Serie a termini non negativi.
Criterio del confronto. Criterio del confronto
asintotico. Criterio del rapporto. Criterio della
radice. Serie armonica generalizzata. Serie a
segno alternato. Criterio di Leibnitz. Serie armonica
a segno alternato. Assoluta convergenza. Relazione
fra l'assoluta convergenza e la convergenza semplice.
Serie somma.
Funzioni reali:
Dominio e codominio di una funzione. Funzioni
limitate. Estremo inferiore e superiore di una
funzione. Massimo e minimo di una funzione. Funzioni
monotone. Funzioni pari e dispari. Funzioni periodiche.
Funzioni iniettive, suriettive e biettive. Composizione
di funzioni. Funzioni invertibili e funzione inversa.
Funzioni elementari: funzione potenza, esponenziale
e logaritmo, funzioni trigonometriche, iperboliche
e loro inverse. Valore assoluto di una funzione.
Definizione di limite di una funzione. Legame
tra limite di funzioni e limite di successioni
(Teorema ponte). Limite destro e limite sinistro.
Calcolo di limiti: limiti di funzioni razionali,
goniometriche, esponenziali, logaritmiche. I limiti
notevoli.
Funzione continua. Tipi di discontinuità.
Teorema di Weierstrass. Teoremi degli zeri . Teorema
dei valori intermedi.
Calcolo differenziale: Derivata di una funzione
in un punto. Derivata destra e sinistra. Significato
geometrico di derivata. Differenziabilità
e derivabilità. Differenziale e suo significato
geometrico. Derivata delle funzioni elementari.
Continuità delle funzioni derivabili. Regole
di derivazione. Derivazione delle funzioni composte.
Regola di derivazione della funzione inversa.
Massimi e minimi relativi e assoluti di una funzione.
Teorema di Fermat. Teoremi di Rolle e Teorema
di Lagrange. Conseguenze del teorema di Lagrange:
monotonia di f(x) e segno di f'(x), funzioni costanti
in un intervallo. Teorema di l'Hopital. Derivate
di ordine superiore al primo. Funzioni convesse
in un intervallo. Relazione fra il segno della
derivata seconda e la convessità. Studio
del grafico di una funzione. Polinomio di Taylor.
Uso della formula di Taylor nel calcolo di limiti.
Sviluppo in serie di Taylor e Mc Laurin di una
funzione. Sviluppo in serie di Mc Laurin di alcune
funzioni. Esponenziale e logaritmo nel campo complesso.
Formule di Eulero.
Calcolo integrale:
Somme inferiori e somme superiori di una funzione
f:[a,b]® R. Integrale secondo Riemann di una
funzione limitata. Esempio di funzione non integrabile
secondo Riemann. 1° criterio di integrabilità.
Integrabilità delle funzioni continue e
integrabilità delle funzione monotone.
Proprietà dell’integrale. Teorema
della media. La funzione integrale. Primitive
di una funzione. Il teorema di Torricelli-Barrow.
Teorema fondamentale del calcolo integrale. Regole
di integrazione: per sostituzione e per parti.
Integrazione delle funzioni razionali, di alcune
funzioni irrazionali e di alcune funzioni trascendenti.
Integrali in senso generalizzato o improprio.
Criterio del confronto. Condizioni per la convergenza
o la divergenza di integrali impropri.
Testi di Riferimento :
Bramanti M., Pagani C.D., Salsa
S.: MATEMATICA – Calcolo infinitesimale
e algebra lineare, Ed. Zanichelli.
Ricevimento Studenti :
Contattare il docente.
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