Programma :

Funzioni di più variabili: Insiemi di punti in uno spazio N-dimensionale, proprietà della distanza, proprietà topologiche. Funzioni di più variabili: limite, continuità, derivate parziali e direzionali, differenziale totale, successivo e teoremi fondamentali. Derivazione funzioni composte, formula di Taylor. Funzioni omogenee, max. e minimi liberi e vincolati per funzioni a due e a più variabili. Funzioni implicite: teoremi del Dini, det. Jacobiano; applicazioni geometriche.

Linee in forma parametrica: Curve regolari, lunghezza arco di curva, ascissa curvilinea e integrale curvilineo. Tangente, normale e binormale, curvatura e raggio di curvatura. Forme diff. Lineari esatte e non, CNeS di integrabilità e relative primitive, derivazione sotto il segno di integrale.

Teoria della misura e integrali multipli: Funzioni integrabili su insiemi misurabili, principali proprietà e interpretazione geometrica degli integrali doppi e tripli. Formule di riduzione per gli integrali multipli e cambio di variabile. Misura di insiemi illimitati del piano e criteri di sommabilità. Formule di Green nel piano, teorema della divergenza, integrazione per parti di integrali doppi. Baricentri e momenti di inerzia, solidi di rotazione e teoremi di Guldino. Superfici in forma parametrica e area di superficie. Integrali superficiali.

Equazioni differenziali: Definizioni ed interpretazione geometrica.
a) Problemi di valore iniziale: non unicità e non esistenza in grande, condizioni di Lipschitz e unicità locale. Metodi di risoluzione di alcuni tipi di equazioni di primo ordine in forma esplicita. Equaz. a separazione di variabili e ad essa riconducibili, equaz. di Bernoulli, omogenee, equaz. diff. esatte e a fattor integrante, equaz. di Clairaut, di d’Alembert- Lagrange, di Eulero. Equaz. diff. mancanti di una variabile, equaz. diff. di ordine superiore al primo, metodi per abbassare l’ordine. Equaz. diff. lineari a coeff. costanti omogenee e non, ricerca di soluzioni ed integrale aggiuntivo: metodo di Lagrange e Cauchy, wronskiano e teorema di Liouville, alcune equaz. lineari non omogenee in particolare. Equaz. diff. lineari a coefficienti variabili: primo e secondo ordine. Cenni su sistemi di equaz. diff. lineari del primo ordine a coeff. costanti: forma matriciale, sistema fondamentale di soluzioni con autovalori semplici e multipli.

b)Problemi ai limiti per equaz. diff. lineari: principio dell’alternativa, esempi di problemi alle autofunzioni.

Testi di Riferimento :

R. Adams, ”Calcolo differenziale 2“, Editrice Ambrosiane.
M.Bramanti, C.D.Pagani, S.Salsa, "Matematica", Zanichelli.
P.Marcellini, C.Sbordone, “Esercitazioni di Matematica”, vol 2 – Editore Liguori.

Modalità di svolgimento dell’esame :

Corso intensivo con lezioni ed esercitazioni senza distinzione formale , l’esame consiste in una prova scritta ed una orale.