Programma :
Insiemi numerici: numeri naturali,
interi, razionali, reali. Principio di induzione.
Assiomi dei numeri reali e conseguenze. Non completezza
dell’insieme dei numeri razionali. Ampliamento
di R. Insiemi limitati e non limitati. Maggioranti
e minoranti. Massimo e minimo. Estremo superiore
e inferiore.
· Funzioni: dominio, grafico, composizione,
funzioni iniettive e suriettive, funzioni biunivoche,
invertibilità, funzione inversa. Immagine
diretta e inversa di insiemi, codominio. Funzioni
limitate; massimo e minimo, estremo superiore
e inferiore di funzioni. Funzioni monotone, relazione
tra monotonia e iniettività. Funzioni elementari:
potenze, logaritmi, esponenziali, funzioni goniometriche
e iperboliche.
· Successioni: successioni limitate, massimo
e minimo, estremo superiore e inferiore. Limiti
di successioni, successioni convergenti, divergenti
e indeterminate. Relazione tra convergenza e limitatezza.
Successioni monotone, regolarità delle
successioni monotone. Teoremi di confronto per
i limiti, teoremi sulle operazioni con i limiti,
prodotto di una successione infinitesima per una
limitata, forme indeterminate. Il numero e. Infinitesimi
ed infiniti, principio di cancellazione. Criterio
del rapporto, gerarchia degli infiniti di alcune
successioni elementari. Successioni ricorsive.
· Limiti di funzioni: Punti di accumulazione,
intorni. Definizione di limite. Teorema di collegamento
tra limiti di funzioni e di successioni. Limite
destro e sinistro. Teoremi di confronto, operazioni
con i limiti, forme indeterminate. Infinitesimi
ed infiniti. Principio di cancellazione degli
infinitesimi ed infiniti. Prodotto di una funzione
infinitesima per una limitata. Limiti notevoli.
Il simbolo “o piccolo”. Gerarchia
degli infiniti di alcune funzioni elementari.
Limiti di funzioni monotone.
· Continuità: funzioni continue,
continuità per successioni. Classificazione
dei punti di discontinuità. Continuità
delle funzioni elementari. Continuità delle
somma, prodotto rapporto, inversa, composizione
di funzioni continue. Teorema degli zeri. Teorema
dei valori intermedi. Teorema di Weierstrass.
Continuità uniforme. Teorema di Heine-Cantor.
· Derivazione: definizione di derivata;
significati fisici, geometrico. Continuità
delle funzioni derivabili. Derivate di funzioni
elementari. Derivazione delle funzioni somma,
prodotto, quoziente. Derivata della funzione inversa.
Relazione tra derivabilità e differenziabilità.
Derivazione della composizione di funzioni.
· Applicazioni del calcolo differenziale:
Massimi e minimi locali, Teoremi di Fermat, Rolle,
Lagrange. Criteri di monotonia. Limiti delle derivate.
Funzioni convesse, criteri di convessità,
punti di flesso. Condizione sufficiente per massimi
e minimi locali con la derivata seconda. Teorema
di de l’Hopital. Generalità sullo
studio di funzioni, asintoti. Problemi di ottimizzazione.
Problemi con variazioni collegate.
· Integrazione: Integrabilità, esempio
di funzione non integrabile. Criterio di integrabilità,
integrabilità delle funzioni monotone e
delle funzioni continue. Proprietà dell’integrale.
Teoremi della media e delle media pesata. Funzione
integrale, continuità della funzione integrale,
Teorema fondamentale del calcolo integrale. Primitive,
caratterizzazione della famiglia delle primitive
di una funzione. Integrale indefinito. Formula
fondamentale del calcolo integrale. Integrazione
per parti e per sostituzione. Integrali immediati.
Integrazione delle funzioni razionali, formula
di decomposizione di Hermite. Integrazione di
alcune funzioni irrazionali e trascendenti. Integrali
impropri su intervalli illimitati; condizione
necessaria per la convergenza di un integrale.
Criterio del confronto asintotico. Relazione tra
convergenza semplice e assoluta. Integrali impropri
su intervalli limitati; criterio del confronto
asintotico.
· Serie: serie numeriche convergenti, divergenti
e indeterminate. Comportamento della serie geometrica.
Serie telescopiche. Condizione necessaria per
la convergenza. Principio di invarianza. Regolarità
delle serie a segno costante. Criterio del confronto
con l’integrale. Comportamento della serie
armonica. Criteri del confronto e del confronto
asintotico. Criteri del rapporto e della radice.
Serie a segno alternato, Criterio di Leibnitz.
Relazione tra convergenza e convergenza assoluta.
· Formula e serie di Taylor: formula di
Taylor col resto di Peano, in forma integrale
e di Lagrange. Espansione di Mc Laurin di funzioni
elementari. Funzioni sviluppabili in serie di
Taylor; condizione sufficiente per la sviluppabilità.
Sviluppi in serie di Mc Laurin di funzioni elementari.
· Numeri complessi: Il campo complesso.
Forma trigonometrica dei numeri complessi. Potenze
e radici. Esponenziali nel campo complesso. Formule
di Eulero. Logaritmi.
Legenda: gli argomenti sottolineati intendono
svolti con la relativa dimostrazione.
Testi di Riferimento :
P. Marcellini, C. Sbordone, "Analisi
matematica uno", Liguori editore.
P. Marcellini,C. Sbordone, "Esercitazioni
di Matematica", Vol. I, Liguori.
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