Programma:

1. Elementi di teoria degli insiemi.
Simboli ed operazioni insiemistiche elementari unione, intersezione, appartenenza, ecc. Insiemi numerici. Il campo dei numeri reali (definizione assiomatica) e sue proprietà. Estremo inferiore, superiore, completezza. Il valore assoluto di un numero reale e sue proprietà. Intervalli, aperti chiusi ecc. Funzioni a valori reali, dominio e immagine di una funzione, funzioni iniettive, suriettive, biiettive. Composizione di funzioni, funzioni invertibili, funzione inversa e suo grafico. Il campo C dei numeri complessi.

2. Successioni e serie in R.
Definizione di successione. Successioni limitate, monotone. Limite di successioni, unicità del limite. Successioni divergenti. Teorema del confronto. Operazioni con i limiti. Forme indeterminate. Calcolo di alcuni limiti notevoli. Successioni monotone e loro limiti. Il numero “e”. Serie a termini reali. Serie convergenti, divergenti e indeterminate. Serie geometrica e di Mengoli. Serie a termini positivi. Criteri di convergenza (confronto, radice, rapporto, integrale). Serie assolutamente convergenti. Serie a segni alterni, criterio di Leibnitz.

3. Funzioni di una variabile.
Funzioni di R in R. Funzioni monotone, limitate, massimo e minimo di una funzione. Punti di
accumulazione in R. Definizione di limite. Limiti destro e sinistro e relazione col limite. Teorema della permanenza del segno, teorema del confronto e applicazioni. Operazioni coi limiti, forme indeterminate. Limiti di funzioni elementari. Limiti di funzioni monotone. Infinitesimi, infiniti e loro confronto. Calcolo di alcuni limiti notevoli. Funzioni continue, tipi di discontinuità. Operazioni con le funzioni continue. Teorema di Weierstrass. Zeri di una funzione continua e teorema dei valori intermedi. Continuità della funzione inversa.

4. Calcolo differenziale.
Derivata di una funzione in un punto, significato geometrico. Derivata destra, sinistra. Derivabilità e continuità. Regole di derivazione, derivate delle funzioni elementari. Derivazione della funzione composta. Derivata della funzione inversa, le funzioni arcsin(x), arccos(x), arctan(x), e loro derivate. Massimi e minimi locali ed assoluti. Teoremi di Fermat, Rolle, Lagrange. Conseguenze del Teorema di Lagrange: monotonia e segno di f’(x), funzioni costanti in un intervallo. Test di riconoscimento di punti critici. I teoremi di De l'Hopital . I polinomi di Taylor e di Mac Laurin con resto nelle forme di Peano e Lagrange. Polinomi di Mac Laurin di alcune funzioni elementari. Calcolo di limiti con l'ausilio della formula di Taylor. Funzioni convesse, concave. Convessità e derivata seconda. Studio di funzione.

5. Calcolo integrale.
Integrale definito secondo Riemann. Significato geometrico (area) dell'integrale di una funzione non negativa. Linearità e monotonia dell'integrale. Teorema del valor medio. Teorema fondamentale del calcolo. Regole di integrazione (decomposizione, parti, sostituzione). Integrali di funzioni razionali e di alcune funzioni irrazionali. Integrali impropri, criteri di convergenza per funzioni non negative (confronto, confronto asintotico). Integrabilità ed integrabilità assoluta.

6. Equazioni differenziali.
Equazioni differenziali lineari del primo ordine a coefficienti variabili, a variabili separabili, di Bernoulli. Equazioni lineari omogenee del secondo ordine a coefficienti costanti, estensione al caso di equazioni di ordine più alto. Ricerca di un integrale particolare di un'equazione lineare non omogenea: metodo di variazione delle costanti arbitrarie e metodo della somiglianza.