Programma:
Introduzione.
Analisi dimensionale; ordinamento asintotico;
serie e successioni asintotiche; sviluppi asintotici.
Metodi perturbativi
per le equazioni algebriche.
Equazioni quadratiche; equazioni cubiche; cenni
alle equazioni trascendenti.
Calcolo di Integrali
Mediante Sviluppi Asintotici.
Introduzione ed esempi elementari; sviluppo
della funzione integranda; integrazione per
parti; metodo di Laplace e lemma di Watson.
Equazioni Differenziali
Lineari a coefficienti variabili.
Classificazione dei punti; soluzione vicino
ad un punto ordinario; soluzione vicino ad un
punto singolare regolare; singolarita’
all’infinito; soluzione vicino ad un punto
singolaro irregolare.
Sistemi autonomi.
Spazio delle fasi; punti critici; spazio delle
fasi in una e due dimensioni; sistemi lineari;
analisi dei punti critici dei sistemi nonlineari
a due dimensioni.
L’equazione
di Duffing.
Introduzione; lo sviluppo diretto; la soluzione
esatta; la tecnica di Linstedt-Poincare’;
il metodo delle scale multiple; variazione dei
parametri; il metodo della media.
L’oscillatore
lineare smorzato.
Introduzione; lo sviluppo diretto; la soluzione
esatta; il metodo delle scale multiple; il metodo
della media.
Gli oscillatori di Rayleigh e van der Pol.
Lo sviluppo diretto; il metodo della rinormalizzazione;
il metodo delle scale multiple; il metodo della
media.
Oscillazioni
forzate e smorzate dell’equazione di Duffing.
Lo sviluppo diretto; il metodo delle scale multiple.
L’equazione di Mathieu.
Introduzione; lo sviluppo diretto; la teoria
di Floquet; il metodo della dilatazione dei
parametri; il metodo di Whittaker; il metodo
delle scale multiple.
Teoria dello
strato limite (Boundary layer).
Introduzione ed esempi; variabili interne, variabili
esterne e “matching” asintotico;
equazioni a coefficienti variabili; il metodo
delle scale multiple.
Il metodo WKB.
Introduzione; l’approssimazione WKB; problemi
agli autovalori senza punti d’inversione;
problemi con un punto d’inversione; problemi
con due di punti d’inversione; applicazioni
elementari alla Meccanica Quantistica.
Testi
di riferimento:
A. H. NAYFEH: Introduction
to Perturbation Techniques, John Wiley &
Sons, 1981.
C. M. BENDER, S. A. ORSZAG : Advanced Mathematical
Methods for Scientists and Engineers, Springer,
1999.
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