Programma:
1. Funzioni di una variabile
complessa.
I numeri complessi, operazioni algebriche, successioni
e serie nel campo complesso, radici, esponenziale,
logaritmo e funzioni goniometriche nel campo
complesso. Il concetto di limite nel campo complesso,
operazioni con i limiti. Funzioni continue.
Continuità delle funzioni radice e argomento.
Regioni fondamentali. Funzioni derivabili in
senso complesso. Equazioni di Cauchy-Rieman.
Equivalenza fra derivabilità in senso
complesso, differenziabilitˆ in senso complesso
e differenziabilità in senso reale +
condizioni di C.R. Significato algebrico delle
condizioni di C.R. Funzioni olomorfe. Algebra
delle funzioni olomorfe. Esempi di funzioni
olomorfe. Funzioni armoniche coniugate. Ortogonalitˆ
delle linee di livello. Serie di potenze, raggio
di convergenza e Lemma di Abel. Calcolo del
raggio di convergenza. Derivabilità delle
serie di potenze. Funzioni analitiche. Olomorfia
delle funzioni analitiche. Funzioni generatrici,
applicazioni al calcolo delle probabilità.
Principio d'identità delle funzioni analitiche.
Integrazione nel campo complesso, integrali
lungo curve generalmente continue e relazione
con gli integrali curvilinei. Formula di Gauss
Green (solo enunciato). Teorema di Cauchy dell'integrale
nullo. Primitiva di una funzione continua. Proprietà
equivalenti all'esistenza di una primitiva.
Integrali di Fresnel. Formula integrale di Cauchy
e conseguenze. Analiticità delle funzioni
olomorfe di calsse C^1. Formula integrale di
Cauchy per le derivate e stime di Cauchy. Teorema
di Morera. Teorema di Goursat. Analiticità
delle funzioni olomorfe. Teoremi di Weierstrass,
Liouville, fondamentale dell'algebra, del massimo
modulo. Funzioni olomorfe di modulo costante.
Funzioni olomorfe in un anello. Serie di Laurent,
parte singolare di una funzione olomorfa in
un anello. Tipi di singolarità delle
funzioni olomorfe (eliminabili, poli, essenziali).
Teorema di Casorati Weierstrass sulle singolarità
essenziali (solo enunciato). Residui e loro
calcolo in un polo. Metodi delle costanti indeterminate
per la determinazione delle serie di Laurent.
Prolungabilità delle funzioni olomorfe
limitate. Teorema di Hermite. Teorema dei residui.
Calcolo di integrali tramite i residui. Lemmi
del Grande e Piccolo cerchio. Lemma di Jordan
e specializzazione ad altri settori circolari.
Valor principale di Cauchy. Calcolo di integrali
utilizzando i residui: caso del polo semplice
sull'asse reale.
2. Trasformate di Laplace
e di Fourier.
Cenni sull'integrale di Lebesgue. Gli spazi
L^1(E), L^2(E). I teoremi di Fubini e Tonelli.
Il Teorema di Lebesgue della convergenza dominata.
Funzioni trasformabili alla Laplace, ascissa
di convergenza. Definizione e proprietˆ
algebrico-differenziali della trasformata di
Laplace. Olomorfia della trasformata di Laplace
e suo comportamento asintotico. Calcolo delle
trasformate di alcune funzioni elementari. Teoremi
del valore iniziale e finale. Risoluzione di
alcune equazioni differenziali tramite le trasformate
di Laplace. Trasformata di Laplace di funzioni
periodiche. Convoluzione e sua trasformata di
Laplace. Calcolo di integrali usando le trasformate
di Laplace. Formula di inversione delle trasformate
di Laplace. Formula del contorno di Bromwich.
Le funzioni G(z), B(a,b) e relazione fra di
esse. Formula dei complementi. Calcolo della
trasformata di Laplace tramite i residui. Trasformate
di Fourier, proprietˆ algebrico differenziali
delle trasformate di Fourier. Continuitˆ
e comportamento asintotico di F(f)(w). Convoluzione
e trasformata di Fourier. Serie di Fourier e
trasformate di Fourier. Cenni sulla convergenza
delle serie di Fourier, la diseguaglianza di
Bessel e l'uguaglianza di Parseval. Formula
di inversione delle trasformate di Fourier in
condizioni di tipo Dirichlet. Relazione fra
la trasformata di Fourier e di Laplace. Identità
di Plancherel. Teorema del campionamento di
Shannon. Funzioni di Bessel, funzione generatrice,
rappresentazione in forma di serie delle funzioni
di Bessel. Realtà e limitatezza di J_n(t).
Equazione di Bessel. Trasformata di J_0(t).
Trasformata di Laplace delle funzioni di Bessel
J_n(t) (solo enunciato).
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