Programma:

Numeri Reali e Complessi, Assiomi del campo.
Spazio vettoriale astratto; R^n e C^n . Interpretazione geometrica della somma di vettori.
Sottospazi Vettoriali.
Indipendenza e Dipendenza lineare.
Teorema della selezione (con dimostrazione)
Basi; base canonica (standard).
Dimensione. Teorema dell’invarianza della dimensione (senza dimostrazione)
Traslazioni negli spazi vettoriali, Parallelismo.
Spazio Affine. Rette, Piani ; Equazioni parametriche e cartesiani delle rette e piani. Fasci di piani.
Applicazioni Lineari (Monomorfismi, Epimorfismi, Isomorfismi, Endomorfismi); operazioni di base con applicazioni lineari. Teorema sull’isomorfismo tra due spazi vettoriali della stessa dimensione (con dimostrazione)
Dimensione dello spazio delle applicazioni lineari; Nucleo ed Immagine
Definizione dello spazio duale e della base duale.
Matrici associate ad applicazioni lineari. Operazioni con matrici
Determinanti: definizione iterativa, definizione del determinante come somma di monomi, caratterizzazione del determinante tramite le sue proprietà fondamentali
Interpretazione geometrica del determinante.
Determinante delle matrici triangolari (con dimostrazione), Regola di Sarrus
Primo teorema di Laplace (senza dimostrazione), secondo teorema di Laplace (con dimostrazione) , teorema di Binet (senza dimostrazione) Matrice Inversa (con dimostrazione).
Riconoscimento degli isomorfismi con l’ausilio dei determinanti (con dimostrazione).
Rango di applicazioni lineari e matrici; Teorema del Rango (con dimostrazione), Teorema degli Orlati di Laplace (accenno della dimostrazione)
Sistemi lineari: Teorema di Rouché-Capelli (con dimostrazione), teorema di Cramer (con dimostrazione), Eliminazione di Gauss, forma canonica ridotta di una matrice e le sue applicazioni.
Spazi Euclidei: prodotti scalari, ortogonalità, distanze, Teorema di Pitagora (con dimostrazione)
Disuaglianza di Cauchy – Schwarz (senza dimostrazione)
Teorema di ortogonalizzazione (illustrazione del caso di uno, due e tre vettori). Esistenza di basi ortonormali (con dimostrazione). Versori
Isometrie. Teorema sull’isometria tra due spazi euclidei della stessa dimensione (con dimostrazione) Distanze tra Punti e Rette nello spazio euclideo (con dimostrazione).
Rotazioni nel piano Euclideo. Proiezione ortogonale su sottospazi.
Prodotto vettoriale e misto nello spazio euclideo di dimensione tre. Significato geometrico. Accenni sull’orientazione dello spazio.
Vettori e valori propri; Polinomio Caratteristico. Determinazione degli autovalori (con dimostrazione).
Diagonalizzazione delle matrici quadrate: l’equivalenza con l’esistenza di una base di autovettori (con dimostrazione).
L’indipendenza lineare dei vettori propri corrispondenti a valori propri distinti (senza dimostrazione).
Teorema Spettrale reale (senza dimostrazione).
Forma canonica di Jordan delle matrici quadrate (senza dimostrazione).
NOTA: Ciascun corso avrà delle specificità in relazione al Corso di Laurea al quale si rivolge.