Programma:
1.
Funzioni di più variabili. Intorni
in R . Insiemi aperti e chiusi, compatti e connessi
in R . Limiti e continuità. Derivate
parziali. Derivate successive. Il Teorema di
Schwartz. Gradiente. Differenziabilità.
Teorema del differenziale. Funzioni composte.
Teorema di derivazione delle funzioni composte.
Derivate direzionali. Derivata direzionale di
una funzione differenziabile. Formula di Taylor
al primo e al secondo ordine. Matrice Hessiana.
Massimi e minimi relativi. Condizione necessaria
affinchè un punto sia di massimo o di
minimo relativo. Punti critici. Condizione sufficiente
affinchè un punto sia di massimo o di
minimo relativo e particolarizzazione al caso
di 2 variabili. Massimi e minimi assoluti.
2. Funzioni implicite.
Il problema delle funzioni implicite. Il Teorema
del Dini per l’equazione F(x,y)=0. Derivazione
delle funzioni implicite. Massimi e minimi vincolati.
Teorema dei moltiplicatori di Lagrange.
3. Curve ed integrali
curvilinei. Curve in R . Sostegno di
una curva. Curve semplici, curve regolari, curve
regolari a tratti. Versore tangente ad una curva
in un punto. Lunghezza di una curva. Teorema
sulla rettificabilità delle curve regolari.
Ascissa curvilinea. Curve in R : versore tangente
normale e binormale; curvatura e torsione.
4. Forme differenziali
lineari. Campi vettoriali. Lavoro. Campi
conservativi. Forme differenziali lineari. Integrale
curvilineo di una forma differenziale lineare.
Forme differenziali lineari esatte. Condizione
necessaria e sufficiente affinchè una
forma differenziale lineare sia un differenziale
esatto. Condizione necessaria affinchè
una forma differenziale lineare sia un differenziale
esatto. Forme differenziali lineari chiuse.
Campi irrotazionali. Forme differenziali lineari
su domini semplicemente connessi.
5. Integrali
multipli. Integrali doppi. Formule di
riduzione su domini normali. Cambiamento di
variabile negli integrali doppi. Integrali tripli:
formule di riduzione e cambiamento di variabile.
Cenno agli integrali multipli generalizzati.
Domini regolari. Bordo di un dominio regolare
e suo orientamento. Formule di Green-Gauss e
applicazioni.
7. Superfici.
Superfici regolari in R . Piano tangente
e versore normale. Area di una superficie. Superfici
di rotazione. Superfici orientabili. Flusso
di un campo attraverso una superficie. Il teorema
della divergenza e del rotore.
8. Equazioni
differenziali ordinarie. Il problema
di Cauchy. Il Teorema di Cauchy di esistenza
e unicità locale. Risoluzione di alcuni
tipi di equazioni differenziali del primo ordine
in forma normale. Risoluzione di alcuni tipi
di equazioni differenziali del primo ordine
non in forma normale. Il problema di Cauchy
per equazioni di ordine superiore al primo.
Risoluzione di alcuni tipi di equazioni di ordine
superiore al primo.
9. Equazioni
differenziali lineari. Proprietà
generali. Integrale generale di un'equazione
differenziale lineare. Il metodo della variazione
delle costanti. Equazioni omogenee a coefficienti
costanti. Equazioni a coefficienti costanti
con termini noti di tipo particolare. Equazioni
lineari di Eulero.
10. Serie di
funzioni. Serie di potenze: raggio di
convergenza. Critero di Cauchy-Hadamard; criterio
di D’Alambert. Raggio di convergenza della
serie derivata. Serie di Taylor.
Testi
di riferimento:
Bramanti M., Pagani
C.D., Salsa S.: MATEMATICA – Calcolo infinitesimale
e algebra lineare, Ed. Zanichelli
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