Programma:

Elementi di teoria degli insiemi: Simbologia e proprietà elementari. Operazioni insiemistiche: unione, intersezione, differenza, complementare; insieme delle parti. Prodotto cartesiano fra due o più insiemi. Logica delle proposizioni. Implicazione, equivalenza, negazione. I quantificatori universali.
I numeri reali:I numeri naturali, interi e razionali. I numeri reali e l’assioma della completezza. Intervalli. Insieme limitato inferiormente e superiormente. Insieme limitato. Insieme illimitato. Estremo inferiore e superiore di un insieme. Esistenza e unicità dell’estremo inferiore (superiore) di un insieme.
I numeri complessi: Definizione. Operazioni di somma e prodotto. Forma binomiale. Forma trigonometrica. Potenza e radice di un numero complesso.
Successioni in R : Definizione di successione. Successione convergente e limite di successioni. Unicità del limite. Successioni divergenti e successioni indeterminate. Successioni regolari. Successioni limitate. Operazioni con i limiti. Forme indeterminate nel calcolo dei limiti. Proprietà di confronto nell’operazione di limite. Successioni monotone. Teorema di regolarità delle successioni monotone. Il numero e. Calcolo di limiti. Successioni infinite e infinitesime. Stime asintotiche per il calcolo di limiti. Criterio del rapporto per le successioni.
Serie: Serie numerica. Serie di Mengoli e serie geometrica. Condizione necessaria per la convergenza di una serie. Serie armonica. Serie a termini non negativi. Criterio del confronto. Criterio del confronto asintotico. Criterio del rapporto. Criterio della radice. Serie armonica generalizzata. Serie a segno alternato. Criterio di Leibnitz. Serie armonica a segno alternato. Assoluta convergenza. Relazione fra l'assoluta convergenza e la convergenza semplice. Serie somma.
Funzioni reali: Dominio e codominio di una funzione. Funzioni limitate. Estremo inferiore e superiore di una funzione. Massimo e minimo di una funzione. Funzioni monotone. Funzioni pari e dispari. Funzioni periodiche. Funzioni iniettive, suriettive e biettive. Composizione di funzioni. Funzioni invertibili e funzione inversa. Funzioni elementari: funzione potenza, esponenziale e logaritmo, funzioni trigonometriche, iperboliche e loro inverse. Valore assoluto di una funzione. Definizione di limite di una funzione. Legame tra limite di funzioni e limite di successioni (Teorema ponte). Limite destro e limite sinistro. Calcolo di limiti: limiti di funzioni razionali, goniometriche, esponenziali, logaritmiche. I limiti notevoli.
Funzione continua. Tipi di discontinuità. Teorema di Weierstrass. Teoremi degli zeri . Teorema dei valori intermedi.
Calcolo differenziale: Derivata di una funzione in un punto. Derivata destra e sinistra. Significato geometrico di derivata. Differenziabilità e derivabilità. Differenziale e suo significato geometrico. Derivata delle funzioni elementari. Continuità delle funzioni derivabili. Regole di derivazione. Derivazione delle funzioni composte. Regola di derivazione della funzione inversa. Massimi e minimi relativi e assoluti di una funzione. Teorema di Fermat. Teoremi di Rolle e Teorema di Lagrange. Conseguenze del teorema di Lagrange: monotonia di f(x) e segno di f'(x), funzioni costanti in un intervallo. Teorema di l'Hopital. Derivate di ordine superiore al primo. Funzioni convesse in un intervallo. Relazione fra il segno della derivata seconda e la convessità. Studio del grafico di una funzione. Polinomio di Taylor. Uso della formula di Taylor nel calcolo di limiti. Sviluppo in serie di Taylor e Mc Laurin di una funzione. Sviluppo in serie di Mc Laurin di alcune funzioni. Esponenziale e logaritmo nel campo complesso. Formule di Eulero.
Calcolo integrale: Somme inferiori e somme superiori di una funzione f:[a,b]® R. Integrale secondo Riemann di una funzione limitata. Esempio di funzione non integrabile secondo Riemann. 1° criterio di integrabilità. Integrabilità delle funzioni continue e integrabilità delle funzione monotone. Proprietà dell’integrale. Teorema della media. La funzione integrale. Primitive di una funzione. Il teorema di Torricelli-Barrow. Teorema fondamentale del calcolo integrale. Regole di integrazione: per sostituzione e per parti. Integrazione delle funzioni razionali, di alcune funzioni irrazionali e di alcune funzioni trascendenti. Integrali in senso generalizzato o improprio. Criterio del confronto. Condizioni per la convergenza o la divergenza di integrali impropri.

Testi di riferimento:

Bramanti M., Pagani C.D., Salsa S.: MATEMATICA – Calcolo infinitesimale e algebra lineare, Ed. Zanichelli.