Programma:

1. Preliminari.
Definizione di campo. Numeri complessi.

2. Spazi vettoriali.
Definizione di spazio vettoriale. Sottospazi
vettoriali. Combinazioni lineari. Dipendenza lineare. Basi di
uno spazio vettoriale; coordinate. Completamento a una base.
Esistenza delle basi. Dimensione di uno spazio vettoriale. Base canonica di R^n. Sottospazi somma e intersezione. Teorema di Grassmann. Somma diretta di due sottospazi; supplementare di un sottospazio.

3. Applicazioni lineari.
Definizione di applicazione lineare; esempi.
Un'applicazione lineare `e completamente determinata dai valori su una base.
Nucleo e immagine di un'applicazione lineare. Rango di una trasformazione lineare, e teorema della dimensione. Rango della trasposta di una matrice reale ( senza dimostrazione).

4. Sistemi lineari.
Definizione di sistema lineare e matrice associata. Teorema di
Rouche'-Capelli. Teorema di struttura delle soluzioni di un
sistema lineare. Sistemi equivalenti. Sistemi a scala. Metodo di
riduzione a scala. Algoritmi per il calcolo di rango e dimensione del nucleo di una matrice, e della dimensione di sottospazi di R^n. Equazioni
parametriche e cartesiane. Sottospazi affini.

5. Operazioni su matrici ed applicazioni lineari.
Somma e composizione di trasformazioni lineari. Isomorfismi. Prodotto di matrici.
Matrici invertibili; algoritmo per il calcolo dell'inversa di una matrice.

6. Cambiamenti di base.
Algoritmi per trovare la dimensione di sottospazi di uno spazio vettoriale.
Matrice associata a un cambiamento di base. Matrice associata a un'applicazione
lineare rispetto a due basi. Algoritmi per il calcolo di rango e dimensione del nucleo di un'applicazione lineare. Come si modifica la matrice
associata ad una trasformazione lineare cambiando base; matrici simili.

7. Determinanti.
Definizione assiomatica di determinante. Esistenza e
unicita` del determinante. Sviluppi di Laplace. Determinante della trasposta.
Teorema di Binet. Determinante dell'inversa. Metodo di Cramer. Teorema degli orlati.
( Tutti gli argomenti di questa sezione sono stati svolti senza dimostrazione ad esclusione del metodo di Cramer).

8. Geometria affine.
Equazioni cartesiane di rette e piani in A^2 e A^3.
Posizioni reciproche di punti, rette e piani; condizioni di parallelismo ed incidenza.
Cambiamento di sistemi di riferimento affine.

9. Autovalori ed autovettori.
Definizione di autovalore, autovettore, spettro e autospazio. Endomorfismi diagonalizzabili e triangolabili.
Polinomio caratteristico; gli autovalori sono le radici del polinomio caratteristico.
Autovettori relativi ad autovalori distinti sono linearmente indipendenti. Molteplicita` algebrica e geometrica.
Criterio necessario e sufficiente di diagonalizzabilita` di un endomorfismo.

10. Prodotti scalari.
Prodotto scalare canonico in R^n; forme bilineari e prodotti scalari.
Disuguaglianza di Cauchy-Schwarz e disuguaglianza triangolare.
Angolo fra vettori; ortogonalita`. Basi ortogonali e ortonormali.
Procedimento di ortogonalizzazione di Gram-Schmidt.
Proiezione ortogonale su un sottospazio; supplementi ortogonali.
Matrice associata a una forma bilineare rispetto a una base. Come si modifica la matrice associata a una forma bilineare cambiando base; matrici congruenti.
Endomorfismi simmetrici e ortogonali. Diagonalizzabilita` di endomorfismi simmetrici (teorema spettrale).

11. Geometria euclidea.
Sistemi di riferimento cartesiani. Angolo fra rette e piani; condizioni di ortogonalita`. Distanze fra punti, rette e piani. Il prodotto vettore in R^3.
Cambiamento di sistemi di riferimento cartesiani.

12. Coniche e quadriche.
Criterio di Cartesio (\sl senza dimostrazione). Coniche geometriche in R^2 ed esempi di superfici in R^3. Coniche in R^2 e quadriche in R^3: classificazione affine.

Testi di riferimento:

M. Abate: Geometria, McGraw-Hill Italia, 1996.
M. Abate, C. de Fabritiis: Esercizi di Geometria, McGraw-Hill Italia, 1999.
C. de Fabritiis: Dispense su coniche e quadriche.