Obiettivi formativi:

Programma:

· Insiemi numerici: numeri naturali, interi, razionali, reali. Principio di induzione. Assiomi dei numeri reali e conseguenze. Non completezza dell’insieme dei numeri razionali. Ampliamento di R. Insiemi limitati e non limitati. Maggioranti e minoranti. Massimo e minimo. Estremo superiore e inferiore.
· Funzioni: dominio, grafico, composizione, funzioni iniettive e suriettive, funzioni biunivoche, invertibilità, funzione inversa. Immagine diretta e inversa di insiemi, codominio. Funzioni limitate; massimo e minimo, estremo superiore e inferiore di funzioni. Funzioni monotone, relazione tra monotonia e iniettività. Funzioni elementari: potenze, logaritmi, esponenziali, funzioni goniometriche e iperboliche.
· Successioni: successioni limitate, massimo e minimo, estremo superiore e inferiore. Limiti di successioni, successioni convergenti, divergenti e indeterminate. Relazione tra convergenza e limitatezza. Successioni monotone, regolarità delle successioni monotone. Teoremi di confronto per i limiti, teoremi sulle operazioni con i limiti, prodotto di una successione infinitesima per una limitata, forme indeterminate. Il numero e. Infinitesimi ed infiniti, principio di cancellazione. Criterio del rapporto, gerarchia degli infiniti di alcune successioni elementari. Successioni ricorsive.
· Limiti di funzioni: Punti di accumulazione, intorni. Definizione di limite. Teorema di collegamento tra limiti di funzioni e di successioni. Limite destro e sinistro. Teoremi di confronto, operazioni con i limiti, forme indeterminate. Infinitesimi ed infiniti. Principio di cancellazione degli infinitesimi ed infiniti. Prodotto di una funzione infinitesima per una limitata. Limiti notevoli. Il simbolo “o piccolo”. Gerarchia degli infiniti di alcune funzioni elementari. Limiti di funzioni monotone.
· Continuità: funzioni continue, continuità per successioni. Classificazione dei punti di discontinuità. Continuità delle funzioni elementari. Continuità delle somma, prodotto rapporto, inversa, composizione di funzioni continue. Teorema degli zeri. Teorema dei valori intermedi. Teorema di Weierstrass. Continuità uniforme. Teorema di Heine-Cantor.
· Derivazione: definizione di derivata; significati fisici, geometrico. Continuità delle funzioni derivabili. Derivate di funzioni elementari. Derivazione delle funzioni somma, prodotto, quoziente. Derivata della funzione inversa. Relazione tra derivabilità e differenziabilità. Derivazione della composizione di funzioni.
· Applicazioni del calcolo differenziale: Massimi e minimi locali, Teoremi di Fermat, Rolle, Lagrange. Criteri di monotonia. Limiti delle derivate. Funzioni convesse, criteri di convessità, punti di flesso. Condizione sufficiente per massimi e minimi locali con la derivata seconda. Teorema di de l’Hopital. Generalità sullo studio di funzioni, asintoti. Problemi di ottimizzazione. Problemi con variazioni collegate.
· Integrazione: Integrabilità, esempio di funzione non integrabile. Criterio di integrabilità, integrabilità delle funzioni monotone e delle funzioni continue. Proprietà dell’integrale. Teoremi della media e delle media pesata. Funzione integrale, continuità della funzione integrale, Teorema fondamentale del calcolo integrale. Primitive, caratterizzazione della famiglia delle primitive di una funzione. Integrale indefinito. Formula fondamentale del calcolo integrale. Integrazione per parti e per sostituzione. Integrali immediati. Integrazione delle funzioni razionali, formula di decomposizione di Hermite. Integrazione di alcune funzioni irrazionali e trascendenti. Integrali impropri su intervalli illimitati; condizione necessaria per la convergenza di un integrale. Criterio del confronto asintotico. Relazione tra convergenza semplice e assoluta. Integrali impropri su intervalli limitati; criterio del confronto asintotico.
· Serie: serie numeriche convergenti, divergenti e indeterminate. Comportamento della serie geometrica. Serie telescopiche. Condizione necessaria per la convergenza. Principio di invarianza. Regolarità delle serie a segno costante. Criterio del confronto con l’integrale. Comportamento della serie armonica. Criteri del confronto e del confronto asintotico. Criteri del rapporto e della radice. Serie a segno alternato, Criterio di Leibnitz. Relazione tra convergenza e convergenza assoluta.
· Formula e serie di Taylor: formula di Taylor col resto di Peano, in forma integrale e di Lagrange. Espansione di Mc Laurin di funzioni elementari. Funzioni sviluppabili in serie di Taylor; condizione sufficiente per la sviluppabilità. Sviluppi in serie di Mc Laurin di funzioni elementari.
· Numeri complessi: Il campo complesso. Forma trigonometrica dei numeri complessi. Potenze e radici. Esponenziali nel campo complesso. Formule di Eulero. Logaritmi.

Legenda: gli argomenti sottolineati intendono svolti con la relativa dimostrazione.

Testi di riferimento:

P. Marcellini – C. Sbordone, Analisi matematica uno, Liguori editore
P. Marcellini – C. Sbordone, Esercitazioni di Matematica Vol. I, Liguori

Modalità di svolgimento del corso e dell’esame:

Ricevimento Studenti: